Soal dan Pembahasan – Operasi Baris Elementer dan Eliminasi Gauss-Jordan

Suatu matriks dikatakan berbentuk eselon baris apabila memenuhi tiga kriteria berikut.

1. Jika suatu baris tidak seluruhnya memuat entri taknol, maka angka taknol pertama dalam baris tersebut adalah angka $1,$ yang selanjutnya sebagai satu utama (leading one).
2. Jika ada sembarang baris yang semua entrinya nol, maka baris ini diposisikan paling bawah.
3. Jika sembarang dua baris yang berurutan tidak seluruhnya terdiri dari entri nol, maka satu utama pada baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan satu utama pada baris di atasnya.

Dengan mengacu pada tiga kriteria di atas, maka matriks yang tidak berbentuk eselon baris adalah $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0  \end{pmatrix}$ karena melanggar kriteria kedua. Perhatikan bahwa entri pada baris kedua semuanya nol, tetapi tidak diposisikan paling bawah.
(Jawaban D)

Suatu matriks dikatakan berbentuk eselon baris tereduksi apabila memenuhi tiga kriteria berikut.

1. Jika suatu baris tidak seluruhnya memuat entri taknol, maka angka taknol pertama dalam baris tersebut adalah angka $1,$ yang selanjutnya sebagai satu utama (leading one).
2. Jika ada sembarang baris yang semua entrinya nol, maka baris ini diposisikan paling bawah.
3. Jika sembarang dua baris yang berurutan tidak seluruhnya terdiri dari entri nol, maka satu utama pada baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan satu utama pada baris di atasnya.
4. Setiap kolom yang berisi satu utama mempunyai entri nol di posisi lainnya.

Cek opsi A:
Matriks $\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ melanggar kriteria keempat sehingga tidak berbentuk eselon baris tereduksi, tetapi memenuhi kriteria untuk dikatakan sebagai matriks yang berbentuk eselon baris.
Cek opsi B:
Matriks $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ melanggar kriteria keempat sehingga tidak berbentuk eselon baris tereduksi, tetapi memenuhi kriteria untuk dikatakan sebagai matriks yang berbentuk eselon baris.
Cek opsi C:
Matriks $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ memenuhi keempat kriteria di atas sehingga termasuk matriks yang berbentuk eselon baris tereduksi.
Cek opsi D:
Matriks $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0  \end{pmatrix}$ melanggar kriteria pertama karena angka pertama yang muncul pada baris kedua adalah $2.$ Jadi, matriks ini tidak berbentuk eselon baris tereduksi, sekaligus juga bukan matriks yang berbentuk eselon baris.
Cek opsi E:
Matriks $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ melanggar kriteria ketiga sehingga tidak berbentuk eselon baris tereduksi dan juga tidak berbentuk eselon baris.
(Jawaban C)

Karena sistem persamaan linear tersebut homogen, semua konstanta dari persamaannya haruslah sama dengan $0.$ Dengan demikian, jika dituliskan dalam bentuk matriks, sistem persamaan linear tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \\ -1 & 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$atau ekuivalen dengan
$$\boxed{\begin{cases} 3a-2b+c=0 \\ ~~~~~~~~~~3b+6c = 0 \\ -a+4b+5c=0 \end{cases}}.$$(Jawaban A)

Diketahui matriks diperbesar $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 8 \\ 4 & 1 & -1 & 10 \end{array}\right).$$Dengan menggunakan operasi baris elementer, matriks diperbesar tersebut akan diubah menjadi matriks berbentuk eselon baris dengan entri yang diinginkan pada soal.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 8 \\ 4 & 1 & -1 & 10 \end{array}\right) & \xrightarrow[b_3-4b_1]{b_2-2b_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 5 \\ 0 & -1 & 7 & -2 \\ 0 & -7 & 11 & -10 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-b_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & -7 & 2 \\ 0 & -7 & 11 & -10 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3+7b_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 5 \\ 0 & -1 & 7 & -2 \\ 0 & 0 & \color{red}{-38} & 4 \end{array}\right) \end{aligned}$$Ini berarti, nilai $k$ yang tepat adalah $\boxed{-38}.$
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa matriks diperbesar tersebut dapat direduksi sehingga akan diperoleh
$$\left(\begin{array}{cc|c} 1 & k & -4 \\ 4 & 8 & 2 \end{array}\right) \xrightarrow[b_2-4b_1]{} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & k & -4 \\ 0 & 8-4k & 18 \end{array}\right)$$Agar sistem yang diwakilinya konsisten (memiliki penyelesaian), nilai $8-4k$ tidak boleh bernilai $0.$ Dengan demikian, dapat ditulis
$$8-4k \neq 0 \Leftrightarrow k \neq 2.$$Jadi, semua nilai $k$ yang membuat sistem tersebut konsisten adalah $\boxed{k \neq 2}.$
(Jawaban A)

Sistem persamaan linear yang berpadanan dengan matriks diperbesar tersebut adalah sebagai berikut.
$$\begin{cases} x_1-3x_2+4x_3 & = 7 && (\cdots 1) \\ ~~~~~~~~~~~x_2 + 2x_3 & = 2 && (\cdots 2) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_3 & = 5 && (\cdots 3) \end{cases}$$Dengan menggunakan substitusi balik dari Persamaan $(3)$ ke Persamaan $(2)$ dan $(1),$ kita peroleh
$$\begin{aligned} x_2 + 2(5) = 2 & \Rightarrow x_2 = -8 \\ x_1-3(-8) + 4(5) = 7 & \Rightarrow x_1 = -37 \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian sistem tersebut adalah $x_1 = -37,$ $x_2 = -8,$ dan $x_3 = 5.$
(Jawaban A)

Sistem persamaan linear yang berpadanan dengan matriks diperbesar tersebut adalah sebagai berikut.
$$\begin{cases} x_3+x_4 & =-5 && (\cdots 1) \\ x_2+3x_4 & = 2 && (\cdots 2) \\ x_1-7x_4 & = 8 && (\cdots 3) \end{cases}$$Karena diketahui $x_4 = t,$ dari Persamaan $(1),$ diperoleh $x_3 = -5-t.$ Kemudian, Persamaan $(2)$ dan $(3)$ berturut-turut menghasilkan $x_2=2-3t$ dan $x_1=8+7t.$ Jadi, nilai dari $$x_1+x_2+x_3 = (-5-t)+(2-3t)+(8+7t) = 3t+5.$$(Jawaban D)

Perhatikan bahwa sistem persamaan linear yang diberikan homogen karena semua konstantanya bernilai $0.$ Agar sistem tersebut mempunyai takberhingga banyaknya penyelesaian, matriks koefisien yang direduksi menjadi eselon baris harus memuat baris yang semua entrinya nol. Karena matriks koefisien dari sistem tersebut adalah $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & k^2-14\end{pmatrix},$$dengan menggunakan operasi baris elementer, diperoleh
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 4 & 1 & k^2-14 \end{array}\right) & \xrightarrow[b_2-3b_1]{b_3-4b_1} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -7 & 14 \\ 0 & -7 & k^2-2 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[-1/7b_2]{} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -7 & k^2-2 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[b_3+7b_2]{} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & k^2-16 \end{array}\right). \end{aligned}$$Agar sistem memiliki takberhingga penyelesaian, nilai $k^2-16$ haruslah dibuat sama dengan $0.$ Ini berarti, $$k^2-16=0 \Leftrightarrow k = \pm 4.$$Jadi, salah satu nilai $k$ yang membuat sistem tersebut mempunyai takberhingga banyaknya penyelesaian adalah $\boxed{4}.$
(Jawaban C)

Reduksi matriks diperbesar tersebut dengan menggunakan operasi baris elementer.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & \alpha & 6 & 11 \\ 1 & 0 & 2 & \beta & \alpha \end{array}\right) & \xrightarrow[b_4-b_1]{b_3-b_1} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & \alpha-2 & 5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & \beta-1 & \alpha-1 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3-5b_2} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & \alpha+3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \beta-1 & \alpha-1 \end{array}\right) \end{aligned}$$Perhatikan bahwa baris ketiga dan keempat dari matriks terakhir dapat menjadi baris dengan semua entri nol.

1. Semua entri pada baris ketiga sama dengan nol jika $\alpha = -3$ (dan $\beta$ bebas nilainya).
2. Semua entri pada baris keempat sama dengan nol jika $\alpha = \beta = 1.$

Kehadiran baris nol pada matriks yang direduksi memiliki arti bahwa sistem persamaan linear yang berpadanan dengannya memiliki takberhingga banyaknya penyelesaian. Jadi, salah satu nilai $\alpha$ dan $\beta$ yang mungkin agar sistem persamaan linear yang dimaksud memiliki takberhingga banyaknya penyelesaian (lihat opsi pilihan ganda) adalah $\alpha = -3$ dan $\beta = 1.$
(Jawaban A)

Dalam kasus ini, kita akan membuat sistem persamaan linear dengan empat variabel dan tiga persamaan.
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 & = 3 && (\cdots 1) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_4 & = 5 && (\cdots 2) \\ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 & = 9 && (\cdots 3) \end{cases}$$Perhatikan bahwa konstanta pada Persamaan $(3)$ menjadi penentu apakah sistem tersebut tidak memiliki penyelesaian atau takberhingga banyaknya penyelesaian. Karena kita menginginkan sistem yang tidak konsisten, artinya tidak memiliki penyelesaian, maka konstantanya kita tuliskan dengan bilangan real apa pun, kecuali $3 + 5 = 8.$ Dalam kasus di atas, konstantanya diambil $9.$

Operasi baris elementer dapat kita terapkan untuk membentuk matriks berbentuk eselon baris.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 3 \\ 2 & 7\end{array}\right) & \xrightarrow[]{b_2-2b_1} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}\right) && (1) \\ & \xrightarrow[]{b_1-b_2} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right) && (2) \end{aligned}$$Catatan: Matriks eselon baris di atas adalah dua dari sekian banyaknya bentuk eselon baris lain yang mungkin dapat dibuat dengan menjalankan operasi baris elementer.
Untuk kasus ini, dua bentuk eselon baris dari matriks tersebut adalah $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

Salah satu rangkaian operasi baris elementer agar kita dapat mereduksi matriks tersebut menjadi berbentuk eselon baris tereduksi tanpa melibatkan pecahan diberikan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right) & \xrightarrow[]{-(b_1-b_3)} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3-3b_1} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & -5 & -1 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{2b_2-b_3} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 15 \\ 0 & -5 & -1 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3+5b_2} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 74 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{\frac{1}{74}b_3} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[b_1-2b_3]{b_2-15b_3} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_1-3b_2} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{aligned}$$Catatan: Akan ada banyak rangkaian operasi baris elementer yang dapat menjadi alternatif dalam kasus ini. Namun, setiap rangkaian operasi baris elementer tersebut selalu menghasilkan matriks eselon baris tereduksi yang sama, yaitu $\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$

Sistem persamaan linear yang berpadanan dengan matriks diperbesar tersebut adalah sebagai berikut.
$$\begin{cases} x_1-6x_2~~~~~~~~~~~~~~~+3x_5 & = -2 && (\cdots 1) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~x_3~~~~~~~~~ + 4x_5 & = 7 && (\cdots 2) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_4~~ +5x_5 & = 8 && (\cdots 3) \end{cases}$$Kolom kedua dan kolom kelima yang berturut-turut mewakili koefisien dari variabel $x_2$ dan $x_5$ tidak memuat satu utama sehingga kedua variabel itu disebut sebagai variabel bebas dan nilainya akan dinyatakan dalam bentuk parameter.
Misalkan $x_2 = s$ dan $x_5 = t$ untuk $s, t \in \mathbb{R}.$ Dimulai dari Persamaan $(3), (2),$ lalu $(1),$ kita peroleh
$$\begin{aligned} x_4 + 5t = 8 & \Rightarrow x_4 = 8-5t \\ x_3 + 4t = 7 & \Rightarrow x_3 = 7-4t \\ x_1-6s + 3t = -2 & \Rightarrow x_1 = 6s-3t-2 \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian sistem tersebut untuk $s, t \in \mathbb{R}$ adalah
$$\begin{cases} x_1 & = 6s-3t-2 \\ x_2 & = s \\ x_3 & = 7-4t \\ x_4 & = 8-5t \\ x_5 & = t \end{cases}$$ 

Matriks diperbesar dari sistem tersebut adalah sebagai berikut.
$$\left(\begin{array}{rr|r} 2 & 1 & a \\ 3 & 6 & b \end{array}\right)$$Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita akan membuat matriks menjadi berbentuk eselon baris.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rr|r} 2 & 1 & a \\ 3 & 6 & b \end{array}\right) & \xrightarrow[]{b_1 \leftrightarrow b_2} \left(\begin{array}{rr|r} 3 & 6 & b \\ 2 & 1 & a \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{\frac13b_1} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 2 & \frac13b \\ 2 & 1 & a \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_2-2b_1} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 2 & \frac{b}{3} \\ 0 & -3 & a-\frac23b \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-\frac13b_2} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 2 & \frac{b}{3} \\ 0 & 1 & -\frac13a+\frac29b \end{array}\right) \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, kita peroleh sistem baru yang lebih sederhana.
$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 & = \dfrac{b}{3} && (\cdots 1) \\ x_2 & = -\dfrac13a + \dfrac29b && (\cdots 2) \end{cases}$$Substitusi $(2)$ pada $(1)$ menghasilkan $x_1 = \dfrac23a-\dfrac19b.$ Jadi, penyelesaian sistem tersebut adalah
$$\begin{cases} x_1 & = \dfrac23a-\dfrac19b \\ x_2 & = -\dfrac13a + \dfrac29b \end{cases}$$

Matriks diperbesar dari sistem tersebut adalah sebagai berikut.
$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & a \\ 2 & 0 & 2 & b \\ 0 & 3 & 3 & c \end{array}\right)$$Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita akan membuat matriks menjadi berbentuk eselon baris.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 2 & 0 & 2 & b \\ 0 & 3 & 3 & c \end{array}\right) & \xrightarrow[]{b_2-2b_1} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & -2 & 0 & b-2a \\ 0 & 3 & 3 & c \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-\frac12b_2} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 1 & 0 & a-\frac12b \\ 0 & 3 & 3 & c \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3-3b_2} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 1 & 0 & a-\frac12b \\ 0 & 0 & 3 & c-3a+\frac32b \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{\frac13b_3} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 1 & 0 & a-\frac12b \\ 0 & 0 & 1 & \frac13c-a+\frac12b \end{array}\right) \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, kita peroleh sistem baru yang lebih sederhana.
$$\begin{cases} x_3 & = -a+\dfrac12b+\dfrac13c && (\cdots 1) \\ x_2 & = a-\dfrac12b && (\cdots 2) \\ x_1+x_2+x_3 & = a && (\cdots 3) \end{cases}$$Substitusi $(2)$ dan $(3)$ pada $(1)$ menghasilkan $x_1 = a-\dfrac13c.$ Jadi, penyelesaian sistem tersebut adalah
$$\begin{cases} x_1 & = a-\dfrac13c \\ x_2 & = a-\dfrac12b \\ x_3 & = -a+\dfrac12b+\dfrac13c \end{cases}$$

Matriks diperbesar dari sistem tersebut adalah sebagai berikut.
$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 8 \\ -1 & -2 & 3 & 1 \\ 3 & -7 & 4 & 10 \end{array}\right)$$Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita akan membuat matriks menjadi berbentuk eselon baris tereduksi.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 8 \\ -1 & -2 & 3 & 1 \\ 3 & -7 & 4 & 10 \end{array}\right) & \xrightarrow[b_3-3b_1]{b_2 + b_1} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & -1 & 5 & 9 \\ 0 & -10 & -2 & -14 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-b_2} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & -5 & -9 \\ 0 & -10 & -2 & -14 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3 + 10b_2} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & -5 & -9 \\ 0 & 0 & -52 & -104 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-\frac{1}{52}b_3} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & -5 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[b_1-2b_3]{b_2+5b_3} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_1-b_2} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, kita peroleh nilai $x_1 = 2, x_2 = 1,$ dan $x_3 = 3$ yang menjadi penyelesaian dari sistem.

Matriks diperbesar dari sistem tersebut adalah sebagai berikut.
$$\left(\begin{array}{rrr|r} 5 & -2 & 6 & 0 \\ -2 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right)$$Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita akan membuat matriks menjadi berbentuk eselon baris tereduksi.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|r} 5 & -2 & 6 & 0 \\ -2 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right) & \xrightarrow[]{3b_2} && \left(\begin{array}{rrr|r} 5 & -2 & 6 & 0 \\ -6 & 3 & 9 & 3 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-(b_1 + b_2)} && \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & -15 & -3 \\ -6 & 3 & 9 & 3 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{\frac13b_3} && \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & -15 & -3 \\ -2 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_2 + 2b_1} && \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & -15 & -3 \\ 0 & -1 & -27 & -5 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_1-b_2} && \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 12 & 2 \\ 0 & -1 & -27 & -5\end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-b_2} && \left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 12 & 2 \\ 0 & 1 & 27 & 5 \end{array}\right) \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, kita peroleh sistem baru yang lebih sederhana.
$$\begin{cases} x_1 ~~~~~~~~+ 12x_3 & = 2 \\ ~~~~~~~~x_2 + 27x_3 & = 5 \end{cases}$$Misalkan $x_3 = t$ untuk setiap $t \in \mathbb{R}$ sehingga $x_1 = 2-12t$ dan $x_2 = 5-27t.$ Jadi, penyelesaian dari sistem tersebut untuk $t \in \mathbb{R}$ adalah
$$\begin{cases} x_1 & = 2-12t \\ x_2 & = 5-27t \\ x_3 & = t \end{cases}$$

Kita akan menggunakan eliminasi Gauss untuk menentukan nilai $a$ yang dimaksud.
Matriks diperbesar dari sistem tersebut adalah sebagai berikut.
$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 3 & -1 & 5 & 2 \\ 4 & 1 & a^2-14 & a+2 \end{array}\right)$$Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita akan membuat matriks menjadi berbentuk eselon baris.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 3 & -1 & 5 & 2 \\ 4 & 1 & a^2-14 & a+2 \end{array}\right) & \xrightarrow[b_3-4b_1]{b_2-3b_1} \left(\begin{array}{rrc|c} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & -7 & 14 & -10 \\ 0 & -7 & a^2-2 & a-14 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-\frac17b_2} \left(\begin{array}{rrc|c} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & -2 & \frac{10}{7} \\ 0 & -7 & a^2-2 & a-14\end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_3+7b_2} \left(\begin{array}{rrc|c} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & -2 & \frac{10}{7} \\ 0 & 0 & a^2-16 & a-4 \end{array}\right) \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, kita peroleh sistem baru yang lebih sederhana.
$$\begin{cases} x + 2y~~~~~~~~~~~~-3z & = 4 && (\cdots 1) \\ ~~~~~~~~~y~~~~~~~~~~~~-2z & = \dfrac{10}{7} \\ ~~~~~~~~~~~~~~(a^2-16)z & = a-4 && (\cdots 3) \end{cases}$$Perhatikan Persamaan $(3)$ yang dapat ditulis kembali menjadi
$$(a+4)(a-4)z = a-4.$$Kita peroleh beberapa kesimpulan berikut.

1. Jika $a = 4,$ maka setiap $z \in \mathbb{R}$ memenuhi persamaan ini sehingga sistem akan memiliki takberhingga banyaknya penyelesaian. Hal ini juga terindikasi dari kemunculan baris nol pada matriks eselon baris.
2. Jika $a = -4,$ maka tidak ada $z$ yang memenuhi. Dengan kata lain, sistem tidak memiliki penyelesaian.
3. Jika $a \neq \pm 4,$ maka ketiga persamaan tidak saling berkelipatan yang mengindikasikan bahwa sistem bakal memiliki tepat satu penyelesaian.

Diketahui sistem linear homogen$$\begin{cases} x_1-x_2+x_3 & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ x_1+x_2+x_3 & = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 4x_3 & = 0 \end{cases}$$ Matriks koefisien dari sistem linear homogen tersebut adalah $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.$ Operasi baris elementer akan diterapkan pada matriks koefisien sehingga diperoleh matriks berbentuk eselon baris tereduksi.
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4\end{array}\right) & \xrightarrow[]{b_1 \leftrightarrow b_2} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[b_4-b_1]{b_2-b_1; ~b_3-b_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[b_4+2b_2]{b_3+b_2}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[b_4-3b_3]{-b_2}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{-\frac12b_3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_2+b_3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{aligned}$$Dari bentuk terakhir, jelas bahwa satu-satunya solusi yang memenuhi sistem linear homogen tersebut adalah $x_1 = x_2 = x_3 = 0.$ Jadi, terbukti bahwa sistem linear homogen tersebut memiliki solusi trivial $x_1 = x_2 = x_3 = 0.$ $\blacksquare$

Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita akan menunjukkan bahwa matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ dapat direduksi dengan catatan bahwa $ad-bc \ne 0.$
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rr|r} a & b \\ c & d \end{array}\right) & \xrightarrow[]{\frac{1}{a}b_1} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & \frac{b}{a} \\ c & d \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{b_2-c \cdot b_1} \left(\begin{array}{rc|r} 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & \frac{ad-bc}{a} \end{array}\right) \\ & \xrightarrow[]{\frac{a}{ad-bc}b_2} \left(\begin{array}{rc|r} 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{array}\right) && (*) \\ & \xrightarrow[]{b_1-\frac{b}{a} \cdot b_2} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \end{aligned}$$Perhatikan bahwa operasi baris elementer yang ditandai dengan $(*)$ dapat dilakukan dengan syarat $ad-bc \neq 0$ karena posisinya berada pada penyebut dalam bentuk pecahan.
Jadi, terbukti bahwa bentuk eselon baris tereduksi dari $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$ $\blacksquare$